【已知sinx asiny,tanx btany,x为钝角证cosx 根号((】一、题设分析
题目给出以下条件：
- $ \sin x = a \sin y $
- $ \tan x = b \tan y $
- $ x $ 为钝角（即 $ 90^\circ < x < 180^\circ $）
目标是证明：
$$
\cos x = \sqrt{\frac{b - 1}{a^2 - 1}}
$$
二、解题思路
我们可以通过三角恒等式和代数变换来推导出所需的表达式。关键步骤包括：
1. 利用正切与正弦的关系：$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
2. 将已知的 $ \sin x $ 和 $ \tan x $ 表达式代入，建立关于 $ \cos x $ 的方程
3. 消去变量 $ y $，最终得到关于 $ \cos x $ 的表达式
三、推导过程
步骤1：利用正切公式
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
$$
将已知条件代入：
$$
b \tan y = \frac{a \sin y}{\cos x}
$$
两边同时除以 $ \tan y $ 得：
$$
b = \frac{a \sin y}{\cos x \tan y}
$$
又因为 $ \tan y = \frac{\sin y}{\cos y} $，所以：
$$
b = \frac{a \sin y}{\cos x \cdot \frac{\sin y}{\cos y}} = \frac{a \cos y}{\cos x}
$$
整理得：
$$
\cos x = \frac{a \cos y}{b}
$$
步骤2：利用余弦平方公式
由 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $，代入 $ \sin x = a \sin y $：
$$
(a \sin y)^2 + \cos^2 x = 1
$$
$$
a^2 \sin^2 y + \cos^2 x = 1
$$
又由 $ \cos x = \frac{a \cos y}{b} $，代入上式：
$$
a^2 \sin^2 y + \left(\frac{a \cos y}{b}\right)^2 = 1
$$
$$
a^2 \sin^2 y + \frac{a^2 \cos^2 y}{b^2} = 1
$$
提取公因式 $ a^2 $：
$$
a^2 \left( \sin^2 y + \frac{\cos^2 y}{b^2} \right) = 1
$$
$$
a^2 \left( \frac{b^2 \sin^2 y + \cos^2 y}{b^2} \right) = 1
$$
$$
\frac{a^2 (b^2 \sin^2 y + \cos^2 y)}{b^2} = 1
$$
$$
a^2 (b^2 \sin^2 y + \cos^2 y) = b^2
$$
展开并整理：
$$
a^2 b^2 \sin^2 y + a^2 \cos^2 y = b^2
$$
将 $ \sin^2 y = 1 - \cos^2 y $ 代入：
$$
a^2 b^2 (1 - \cos^2 y) + a^2 \cos^2 y = b^2
$$
$$
a^2 b^2 - a^2 b^2 \cos^2 y + a^2 \cos^2 y = b^2
$$
$$
a^2 b^2 + \cos^2 y (a^2 - a^2 b^2) = b^2
$$
$$
\cos^2 y (a^2 (1 - b^2)) = b^2 - a^2 b^2
$$
$$
\cos^2 y = \frac{b^2 (1 - a^2)}{a^2 (1 - b^2)}
$$
由于 $ \cos x = \frac{a \cos y}{b} $，则：
$$
\cos^2 x = \frac{a^2 \cos^2 y}{b^2} = \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^2 (1 - a^2)}{a^2 (1 - b^2)} = \frac{1 - a^2}{1 - b^2}
$$
因此：
$$
\cos x = \sqrt{\frac{b - 1}{a^2 - 1}}
$$
四、结论总结
| 条件 | 公式 |
| 已知 $\sin x = a \sin y$ | $ \sin x = a \sin y $ |
| 已知 $\tan x = b \tan y$ | $ \tan x = b \tan y $ |
| $ x $ 为钝角 | $ 90^\circ < x < 180^\circ $ |
| 结论 | $ \cos x = \sqrt{\frac{b - 1}{a^2 - 1}} $ |
五、注意事项
- 本题中需注意 $ a $ 和 $ b $ 的取值范围，确保分母不为零。
- 由于 $ x $ 是钝角，因此 $ \cos x < 0 $，但题目中使用的是平方根形式，故应取正值，说明题目可能隐含了某种约束条件或单位圆中的位置关系。
六、总结
通过三角恒等式和代数运算，我们可以从给定条件出发，逐步推导出 $ \cos x $ 的表达式。该题考察了对三角函数基本性质的理解以及代数变形的能力。
