在初中或高中数学中，二次函数是一个非常重要的内容。它的一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $。在研究二次函数的图像时，我们常常需要找到它的顶点坐标，因为顶点是抛物线的最高点或最低点，对理解函数的性质具有重要意义。
顶点坐标的公式为：
$$ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $$
那么这个公式的来源是什么呢？下面我们来一步步推导这个公式。
一、配方法推导
配方法是一种常见的代数技巧，用于将二次函数转换为顶点式（即 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式），从而直接看出顶点坐标 $ (h, k) $。
我们从一般式出发：
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
首先，提取 $ a $ 作为系数：
$$
y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c
$$
接下来，我们要对括号内的部分进行配方。配方的关键是构造一个完全平方公式：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
将其代入原式：
$$
y = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c
$$
展开并整理：
$$
y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c
$$
$$
y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c
$$
$$
y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)
$$
此时，我们得到了顶点式：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
其中：
- $ h = -\frac{b}{2a} $
- $ k = c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} $
因此，顶点坐标为：
$$
\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)
$$
二、利用导数法求极值点
另一种方法是使用微积分中的导数概念来寻找顶点。对于函数 $ y = ax^2 + bx + c $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = 2ax + b
$$
令导数等于零，可以找到极值点：
$$
2ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}
$$
将该值代入原函数，即可得到对应的 $ y $ 值：
$$
y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
$$
= a \cdot \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c
$$
$$
= \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + c = -\frac{b^2}{4a} + c = \frac{4ac - b^2}{4a}
$$
所以顶点坐标仍为：
$$
\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)
$$
三、总结
无论是通过配方法还是导数法，我们都可以得出相同的结论：
二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点坐标为 $ \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) $。
这一公式在解析几何、物理运动学、经济模型等领域都有广泛应用，掌握其推导过程有助于加深对二次函数本质的理解。
